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誕生日が同じ人がいる確率計算（クラスの人数で何％？誕生日のパラドックス）

人数を入れると、その中に誕生日が同じ2人がいる確率を出します。30人のクラスなら約7割。「自分と同じ誕生日の人」がいる確率とくらべると、ずいぶん違うことがわかります。

人数（自分も入れる）人クラスの人数、職場の人数、誕生日会に来る人数など

30人の中に、誕生日が同じ2人がいる確率は

70.6%

だれか2人が同じ誕生日70.6%

全員の誕生日がちがう29.4%

自分と同じ誕生日の人がいる7.6%

2人の組み合わせの数435組

50%をこえる人数23人

99%をこえる人数57人

計算の途中を見る

30人なら、だれか2人の誕生日がそろう確率は70.6%。半分より高いのが意外なところです。

使い方

人数を、自分も入れて入れます。クラス・部活・職場・オンライン飲み会の参加者など、どんな集まりでもかまいません。
だれか2人の誕生日がそろう確率が、百分率で大きく出ます。
下の行で「自分と同じ誕生日の人がいる確率」と見くらべてください。同じ人数でも、だれでもいいから2人そろう方がずっと起きやすいのがこの問題のおもしろいところです。

1年を365日とし、どの日に生まれるのも同じ割合だと考えます。2月29日は入れていません。

「だれか2人が同じ」を直接数えるのは大変なので、反対の「全員ちがう」確率を先に出します。1人目はどの日でもよく、2人目は残り364日のどれか、3人目は363日のどれか…と考えて、365/365×364/365×363/365×…を人数分かけ、1から引きます。

「自分と同じ誕生日の人がいる」は、ほかの人ひとりひとりが自分と違う確率364/365を、自分以外の人数分かけて1から引いたものです。こちらは自分という1人との組み合わせしか見ないので、なかなか確率が上がりません。

だれか2人がそろう確率が上がりやすいのは、2人の組み合わせの数が、人数×（人数−1）÷2 と、人数のおよそ2乗の半分まで増えるからです。23人なら組み合わせは253組あり、どれか1組でも同じ日になれば当たりになります。99%以上は、100%と見まちがえないよう小数1けたで切り捨てています。

30人のクラスに、誕生日が同じ2人がいる確率は？

約70.6%です。10クラスあれば7クラスくらいで、同じ誕生日の2人が見つかる計算です。自分と同じ誕生日の人がいる確率は、7.6%しかありません。

何人集まれば、半分以上の確率で同じ誕生日の2人がいる？

23人です。23人で50.7%になります。57人集まると99%をこえます。

誕生日会に100人呼んだら？

だれか2人がそろう確率は99.9%以上。全員ちがう確率は約325万分の1しかありません。

確率のかけ算だけで出る値です。1年を365日とし、どの日に生まれるのも同じ割合と仮定しています（外の資料の数字は使っていません）。

なぜ23人で50%をこえるのですか？直感ではもっと多い気がします。

多くの人は「自分と同じ人」を思いうかべるからです。自分と同じ人が50%をこえるには、自分を入れて254人が要ります。ところが「だれでもいいから2人」なら、23人でも253組の組み合わせがあるので、ずっと早くそろいます。

実際の誕生日には多い日・少ない日がありますが、結果は変わりますか？

少し変わります。誕生日にかたよりがあると、同じ日がそろいやすくなるので、実際の確率はこの計算より少しだけ高くなります。この道具は、どの日も同じ割合という計算の上の値です。

366人いれば100%なのはなぜですか？

1年は365日（2月29日を入れても366日）しかないので、それより人数が多いと、どこかの日に2人以上が入るしかないからです。これを「鳩の巣原理」といいます。

授業や自由研究で確かめるには？

クラス全員の誕生日を黒板に書き出してみると、同じ日の2人が見つかることがよくあります。いくつかのクラスで調べて、計算の確率と見くらべるとおもしろい研究になります。